Soit PQR un triangle équilatéral de cîté a et soit I le mileur du segment [PQ]. Démontrer que l'ensemble E des points M du plan vérifiant MP²+MQ²=2a² est le cer

I milieu de [PQ]

vecIP+vecIQ=vec0

vecIP=-vecIQ

IP=IQ=PQ/2

IP^2=IQ^2=PQ^2/4=a^2/4

MP^2+MQ^2=(vecMI+veIP)^2+(vecMI+vecIQ)^2=

MI^2+2vecMI.IP+IP^2+MI^2+2vecMI.IQ+IQ^2=2MI^2+2.vecMI(IP+IQ)+IP^2+IQ^2

=2MI^2+0+2IP^2=2MI^2+2*(a^2/4)

2MI^2+(a^2/2)=2a^2

MI^2=a^2-(a^2/4)=(3/4)a^2

MI≥0 car distance

MI=√3/2 a 

 or IR hauteur issue de R dans un triangle équilatéral de côté a= a√3/2  

M  décrit le cercle de centre I  passant par R