Bonsoir , je ne comprends pas cet exercice. Cela serait vraiment gentil si vous puissiez m’aider , j’attends votre retour , merci. Bonne soirée.

Bjr

1.

g est dérivable sur IR et pour x réel

[tex]g'(x)=-1[/tex]

Or nous avons

[tex]\dfrac1{2}g(x)+\dfrac1{2}x=-\dfrac1{2}x-1+\dfrac1{2}x=-1=g'(x)[/tex]

Donc g est une solution particulière de (E)

2.

Si f est solution f vérifie pour tout x de IR

[tex]f'(x)=\dfrac1{2}f(x)+\dfrac1{2}x[/tex]

et de même nous savons que

[tex]g'(x)=\dfrac1{2}g(x)+\dfrac1{2}x[/tex]

Par différence des deux égalités, cela donne

[tex]f'(x)-g'(x)=\dfrac{d}{dx}(f-g)(x)\\\\=\dfrac1{2}(f(x)-g(x))+\dfrac1{2}x-\dfrac1{2}x\\\\=\dfrac1{2}(f(x)-g(x))[/tex]

Donc f-g est solution de

[tex]y'=\dfrac1{2}y[/tex]

3. Nous savons que les solutions de l'équation différentielle précédente sont de la forme

[tex]y(x)=ke^{\dfrac1{2}x}[/tex]

En utilisant les résultats de la question 2, les solutions de (E) sont donc de la forme

[tex]\boxed{y(x)=ke^{\dfrac1{2}x}-x-2}[/tex]

4.

Si nous imposons y(2)=0 cela donne [tex]ke-2-2=0 < = > k=4e^{-1}[/tex]

Donc la solution h demandée est définie pour tout x réel par

[tex]\boxed{h(x)=4e^{\frac1{2}x-1}-x-2}[/tex]

Merci