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Question

Un horticulteur envisage la construction d'une serre, entièrement vitreo, ayant la forme d'un parallelepipedo rectangle surmonté d'une pyramide comme l'indique la figure ci-dessous. On designe par la hauteur SK (exprimée en metres) de la pyramide SABCD. A D 1. 2. Montrer que le volume (en m') de la serre est donné par la formule V(x) = 144 + 16x b. Calculer ce volume pour x 1,5. c. Pour quelle valeur de x le volume de la serre est-il de 200 m'? 2. On s'intéresse à la surface vitrde de la serre (les quatre faces laterales et le toit). Co graphique est celui de la fonction Aqui a x associa l'aire, en m'. de cette surface vitrée. Aire de la surface vitrée ten m) 170 150 140 150 0 Hauteur x de la puramide 5 (en metros) a. Lire approximativement A(4,2). b. Pour des raisons de coût, l'horticulteur souhaite limiter la surface vitrée à 150 m2 Quelle est, dans ce cas, la hauteur approximative de la pyramide ? c. En remarquant la forme particulière de la serre dans le cas ou x0, calculer l'aire de la surface vitrée et retrouver ainsi le résultat donné par le graphique..

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Un horticulteur envisage la construction d'une serre, entièrement vitreo, ayant la forme d'un parallelepipedo rectangle surmonté d'une pyramide comme l'indique

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1 Réponse

  • Réponse:

    1°) Vpavé = 6*8*3 = 144 m3

         Vpyramide = 6 * 8 * x / 3 = 48 * x / 3 = 16x

         Vtotal = 144 + 16x

    2°) pour x = 1,5 mètre , Vtotal = 168 m3

    3°) résolvons : 144 + 16x = 200 donc 16x = 56 d' où x = 3,5o mètres

    4°) surface latérale vitrée = Périmètre * 3 = 28 * 3 = 84 m²

          calcul de KD par Pythagore : AC² = AD² + DC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100

           donc AC = 10 d' où KD = 5 mètres

      

         soit J milieu de [DC], calculons SJ par Pythagore dans SKJ :

          SJ² = SK² + KJ² = x² + 4² = x² + 16 donne SJ = racine carrée de (x²+16)

         Aire du triangle vitré SDC = 6 * rac(x²+16) / 2 = 3 * rac(x²+16)

          Aire des triangles SAB et SDC = 6 * rac(x²+16)

         soit L milieu de [AD], calculons SL par Pythagore :

          SL² = SK² + KL² = x² + 3² = x² + 9 donne SL = rac(x²+9)

         Aire du triangle SAD = 8 * rac(x²+9) / 2 = 4 * rac(x²+9)

          Aire des triangles SAD et SBC = 8 * rac(x²+9)

         AIRE TOTALE du toit vitré = 6 * rac(x²+16) + 8 * rac(x²+9)

          AIRE TOTALE de vitres pour la serre = 84 + 6*rac(x²+16) + 8*rac(x²+9)

       

         calcul pour x = 4,2 mètres : Atotale = 160 m² environ

         calcul pour x = zéro : Atotale = 84 + 6 * 4 + 8 * 3 = 84 + 24 + 24 = 132 m²

    5°) on doit résoudre: 84 + 6*rac(x²+16) + 8*rac(x²+9) = 150

                                          6 * rac(x²+16) + 8 * rac(x²+9) = 66

                                             rac(x²+16) + 1,33 rac(x²+9) = 11

         La solution est x = 3,22 mètres environ !

    6°) si x = zéro , Aire vitrée = 132 m² ,

          ce qui correspond au départ de la Courbe !

    7°) calcul de AC sur le croquis pour le patron :

          10 mètres / 200 = 1000 cm / 200 = 5 cm

         calcul de SC réelle : SC² = 3² + 5² = 9 + 25 = 34

                                           donc SCréelle = 5,83 mètres ( environ )

                                           d' où SCpatron = 2,9 cm environ

    8°) patron :

          - tracer un rectangle de 4 cm sur 3 cm

          - ouvrir le compas à 2,9 cm puis le piquer sur les points A ; B ; C ; D .

              On obtient des arcs de cercle qui se coupent, ce qui permet de tracer  

               les 4 triangles isocèles ( de mêmes dimensions ... sauf leurs bases ! )

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