Bonjour, j'ai besoin d'aide pour l'exercice ci-joint, merci d'avance.

Bonjour Lucas,

Partie 1

1.a) On cherche les modules et arguments de 2 nombres complexes.

Rappel :

Le Module

on le notera |z|

Soit z = a + ib , |z| = [tex]\sqrt{a^2 + b^2}[/tex]

L' Argument

on le notera Ф

La forme trigonométrique d'un nombre complexe est :

z = |z| ( cos(Ф) + isin(Ф) )

Ainsi, par identification des parties (réelle et imaginaire) :

a = |z| * cos(Ф)

⇒ cos(Ф) = [tex]\frac{a}{|z|}[/tex]

b = |z| * sin(Ф)

⇒ sin(Ф) = [tex]\frac{b}{|z|}[/tex]

D'où :

|[tex]z_A[/tex]| = [tex]\sqrt{(-\sqrt{3} )^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2[/tex]

|[tex]z_B[/tex]| = [tex]\sqrt{(-\sqrt{3} )^2 + (-1)^2} = \sqrt{4} = 2[/tex]

Soit Ф = arg([tex]z_A[/tex])

cos(Ф) = [tex]\frac{-\sqrt{3} }{2}[/tex]  ,  sin(Ф) = [tex]\frac{1}{2}[/tex]  ⇒ Ф = [tex]\frac{5pi}{6}[/tex]

Soit ω = arg([tex]z_B[/tex])

cos(ω) = [tex]\frac{-\sqrt{3} }{2}[/tex]  ,  sin(ω) = [tex]\frac{-1}{2}[/tex]  ⇒ ω = [tex]\frac{-5pi}{6}[/tex]

1.b) Voir pièce jointe

1.c) On sait que : OA = |[tex]z_A[/tex]| = 2 et OB = |[tex]z_B[/tex]| = 2.

Montrons AB = 2.

AB = |[tex]z_B - z_A[/tex]| = |[tex]-2i[/tex]| = [tex]\sqrt{(-2)^2} = 2[/tex]

Ainsi, OAB est un triangle équilatéral.

Partie 2

2. a.

   2z - 4i = iz + 2

⇔ 2z - 4i - iz = 2

⇔ 2z - iz = 2 + 4i

⇔ z(2 - i) = 2 + 4i

⇔ z = [tex]\frac{2+4i}{2-i}[/tex]

On multiplie par le conjugué de 2-i pour se débarrasser des i en bas

⇔ z = [tex]\frac{(2+4i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}[/tex]    

⇔ z = [tex]\frac{4 + 2i + 8i - 4}{4 +1}[/tex]

⇔ z = [tex]\frac{10i}{5}[/tex] = 2i

2.b) C = 2i

Voir la pièce jointe

2.c) On sait BO = 2.

Le coté opposé de BO est AC. Montrons AC = 2

AC = |[tex]z_C - z_A[/tex]| =  |[tex]2i - (-\sqrt{3} + i )[/tex]| = |[tex]\sqrt{3} + i[/tex]| = [tex]\sqrt{(\sqrt{3} )^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2[/tex]

On sait AB = 2.

Le coté opposé de AB est CO. Montrons CO = 2.

CO = |[tex]z_O - z_C[/tex]| = |[tex]0 - 2i[/tex]| = [tex]\sqrt{(-2)^2} = 2[/tex]

Ainsi, BO = AC et AB = CO donc les cotés opposés sont égaux. OBAC est donc un losange.

Bonne journée