Bonsoir, quelqu’un peut m’aider pour cet exercice je ne comprend même pas l’énoncé..

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

On te donne la forme générale de f(x); f(x)=(ax+b)e^cx et des valeurs particulières de f(x) ou de sa dérivée f'(x)

Dérivée f'(x)=a(e^cx)+c*(e^cx)*(ax+b)

on factorise (e^cx)

f'(x)=(cax+a+cb)(e^cx)

on sait que:

f(0)=0 donc b*e^0=0  comme e^0=1   b=0

Le coefficient directeur de la tangente en O est égal à 5 donc

f'(0)=5 donc a*e^0=5par conséquent a=5

Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse x=2  est égal à0

donc f'(2)=0     ce qui donne (10c+5)e^2c=0 comme e^2c est >0 il faut que 10c+5=0   d'où  c=-1/2

Et on a l'expression de f(x)=5x*(e^-x/2) réponse donnée dans l'énoncé.

Etude de f(x)sur [0;+oo[

Limites si x=0   f(x)=0

si x tend vers +oo, e^-x/2 tend vers 0 donc f(x) tend vers 0+

Dérivée :f'(x)=5*(e^-x/2)-(1/2)5x(e^-x/2)=(-2,5x+5)*(e^-x/2)

on note que f'(x)=0 pour x=2

Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x   0                           2                               +oo

f'(x)        +                  0           -                      

f(x)  0      Croi           f(2)        Décroi            0+

f(2)=10/e

B) on te donne la fonction F(x)=20-10(x+2)*e^-x/2

F(0)=20-20e^0  =20-20=0

On ne recherche pas de primitive mais on va seulement vérifier que F(x) est une primitive de f(x) pour cela il suffit de dériver F(x) pour voir que l'on retrouve f(x)

F'(x)=-10[1*e^-x/2-(1/2)(x+2)*e^-x/2]=(e^-x/2)(-10+5x+10)=5x*(e^-x/2)

F'(x)=f(x)