Soit x , y et z des nombres rationnels strictement positifs . Montrer que : Si [tex] \frac{x}{y} < \frac{2x + 3y}{3x + 2y} [/tex] Alors x

Bonsoir,

On a : x >0 , y >0

On cherche à isoler x. On va pour cela multiplier par des quantités qui seront toujours positives (= pas de changement de signe)

    [tex]\frac{x}{y} < \frac{2x+3y}{3x+2y} \\[/tex]  

⇔  [tex]\frac{x}{y} * (3x+2y) < 2x + 3y[/tex]  , car 3x + 2y > 0 (pas de changement de signe)

⇔ [tex]\frac{x}{y} * (3x + 2y) - 2x < 3y\\[/tex]

⇔ [tex]\frac{3x^{2} + 2xy}{y} - 2x < 3y[/tex]

⇔ [tex]\frac{3x^{2} }{y} + \frac{2xy}{y} - 2x < 3y[/tex]

⇔ [tex]\frac{3x^{2} }{y} + 2x - 2x < 3y[/tex]

⇔ [tex]\frac{3x^{2} }{y} < 3y[/tex]

⇔ [tex]3x^{2} < 3y^{2}[/tex]  , car y > 0

⇔ [tex]x^{2} < y^{2}[/tex]

⇒ [tex]x < y[/tex]   , car x>0, y>0

et la fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +∞[

Attention, [tex]x^{2} < y^{2}[/tex] ⇒ [tex]x < y[/tex] n'est pas vrai pour des x,y négatifs

exemple : (-3)² = 9 < (-5)² = 25 n'implique pas -3 < -5

Bonne fin de soirée