Bonjour quelqu’un pourrai m’aider pour cette exercice je n’y arrive vraiment pas. Merci d’avance à celui ou celle qui m’aidera :)

Réponse :

déterminer les extrema de la fonction

f: x → 1/20) x⁴ - 3/10) x² + 2/5) x + 7

f est une fonction polynôme dérivable sur R  et sa dérivée f ' est

f '(x) = 1/5) x³ - 3/5) x + 2/5

on écrit  f '(x) = 0  ⇔  1/5) x³ - 3/5) x + 2/5 = 0  ⇔ 1/5(x³ - 3 x + 2) = 0

⇔  x³ - 3 x + 2 = 0  

x = 1   racine évidente

(x - 1)(a x² + b x + c)  = a x³ + (b-a) x² + (c-b) x - c

a = 1

b-a = 0  ⇔ b = a  ⇒ b = 1

- c = 2  ⇔ c = - 2

f '(x) = 1/5(x - 1)(x² + x - 2) = 0

Δ = 1 + 8 = 9 > 0  ⇒ 2 racines distinctes

x1 = - 1 + 3)/2 = 1

x2 = - 1 - 3)/2 = - 2

f '(x) = 1/5(x - 1)²(x + 2)  or   (x - 1)² ≥ 0   donc le signe de f '(x) dépend du signe de x + 2

signe de f '(x)

 x      - ∞                    - 2                  + ∞

f '(x)                  -          0          +

f(x)   + ∞→→→→→→→→→→f(-2) →→→→→→→→→→ + ∞

              décroissante          croissante

la fonction f admet un minimum f(-2)  atteint en  x = - 2

Explications étape par étape :