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Question

On considère la suite définie par u0 = 1 et un+1 = (n+1)un
1. Calculer les dix premiers termes de la suite un.
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, on a : un > 2n-1
On considère la suite définie par u0 = 1 et un+1 = (n+1)un 1. Calculer les dix premiers termes de la suite un. 2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier

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2 Réponse

  • 1)
    je te fais les premiers ... 
    U0 = 1
    U1 = (1+1)*1 = 2
    U2 = (2+1)*2 = 6
    U3 = (3+1)*6 = 24
    U4 = .....

    2)
    On va montrer par récurrence que [tex]U_n \geq 2^{n-1}[/tex]

    Initialisation : on vérifie pour n = 1
    U1 = 2    et     [tex]2^{1-1} = 1[/tex] 
    On a bien [tex]U1 \geq 2^{1-1}[/tex]

    Hérédité : on suppose que [tex]U_n \geq 2^{n-1}[/tex], on démontre que [tex]U_{n+1} \geq 2^{n+1-1} \geq 2^n[/tex]

    [tex]U_n \geq 2^{n-1}\\ [/tex]

    ensuite il faut que retrouve l'expression de Un+1 .. et tu devrais devrais avoir ce qu'on recherche. 

    Conclusion : d'après l'axiome de récurrence, on a Un ≥ [tex]2^{n-1}[/tex]

  • bonsoir
    hérédité
    U(k+1)=(k+1)Uk=kUk +Uk
    pour k≥1 on a :
    kUk +Uk≥ 2Uk
    Uk≥2^(k-1)
    donc
    2Uk≥2*2^(k-1)
    2Uk≥2^k
    Or U(k+1)≥2Uk
    donc U(k+1)≥2^k
    ce qui démontre la propriété
    PS, il faut d'abord démontrer que pour tout n, Un>0, mais c'est facile


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