bonjour pouvez vous m'aider sur ce dm de maths je n'y arrive pas s'il vous plaît​

Réponse :

Explications étape par étape :

Considérons quatre points A, B, C et D.

Si ABCD est un parallélogramme, alors AB=DC

Réciproquement,

si AB=DC , alors ABCD est un parallélogramme.

Attention

Il ne faut pas oublier de tenir compte du sens des vecteurs : pour le parallélogramme ABCD,

l'égalité de vecteurs est AB=DC et non AB=CD .

Remarque 1

Dans le cas où les points A, B, C et D sont alignés, on dit que le parallélogramme ABCD est aplati.

BJR

1)

ABCD est un parallélogramme si vecteur AB = vecteur DC

D’abord, on va calculer les coordonnées des vecteurs AB et DC

• vecteur AB( xB–xA ; yB – yA ) ⇒ ( 1 + 1 ; 1 + 3) ⇒ ( 2 ; 4)

⇒ vecteur AB ( 2 ; 4)

• vecteur DC( xC - xD ; yC - yD) ⇒ ( 8 - 6 ; 3 + 1) ⇒ ( 2 ; 4)

⇒ vecteur DC ( 2 ; 4)

→→  donc vecteur AB = vecteur DC

⇒ ABCD est un parallélogramme

2)

ACBZ est un parallélogramme si vecteur AC = vecteur ZB

D’abord, on va calculer les coordonnées des vecteurs AC et ZB

on ne connait pas les coordonnées du point Z on va les appeler xZ et yZ

tel que Z (xZ ; yZ)  - B( 1 ; 1)  - A( - 1 ; - 3)  - C( 8 ; 3)

• vecteur AC (xC - xA ; yC - yA) ⇒ ( 8 + 1 ; 3 + 3) ⇒ (9 ; 6)

⇒ vecteur AC( 9 , 6 )

• vecteur ZB (xB - xZ ; yB - yZ) ⇒ ( 1 - xZ ; 1 - yZ)

⇒ vecteur  ZB ( 1 - xZ ; 1 - yZ)

On utilise l’égalité vecteur AC = vecteur ZB pour  ramener à deux équations dont xZ et yZ sont les inconnues

⇒ vecteur AC = vecteur ZB

⇔ 1 - xZ = 9  ⇒ - xZ = 9 - 1 ⇒ xZ = - 8

⇔ 1 - yZ = 6 ⇒ - yZ = 6 - 1  ⇒  yZ = - 5

coordonnées de Z ( - 8 ; - 5)

coordonnées de vecteur ZB ( 1 + 8 ; 1 + 5) ⇒ ZB ( 9 ; 6)

3)

on ne connait pas les coordonnées du point F

on va les appeler xF et yF tel que F(xF ; yF)

donc vecteur AF( xF - xA ; yF - yA )⇒ (xF + 1 ; yF + 3)

• vecteur AF( xF + 1 ; yF + 3)

puis on va calculer les coordonnées des vecteurs BC et CD  qui permettent de définir le point F :

vecteur BC ( xC - xB ; yC - yC) ⇒ ( 8 -1 ; 3 - 1) ⇒ (7 ; 2)

• vecteur BC ( 7 ; 2)

vecteur CD ( xD - xC ; yD - yC) ⇒ ( 6 - 8 ; - 1 - 3 )⇒ (- 2 ; - 4)

• vecteur CD ( - 2 ; - 4 )

On va maintenant calculer les coordonnées du

vecteur 4BC - 3CD ⇒( 4 × xBC  - 3 × xCD ; 4 × yBC - 3 × yCD)

                                ⇒( 4 × 7 - 3 × - 2 ; 4 × 2 - 3 × -4)

• vecteur 4BC - 3CD    ⇒ (34 ; 20)

On utilise l’égalité vecteur AF = vecteur 4BC - 3CD   pour  ramener à deux équations dont xF et yF sont les inconnues

⇔ xF + 1 = 34 ⇒ xF = 34 - 1 ⇒ xF = 33

⇔ yF + 3 = 20 ⇒ yF = 20 - 3 ⇒ yF = 17  

les coordonnées du point F( 33 ; 17)

et vecteur AF ( 33 + 1 ; 17 + 3) ⇒ vecteur AF( 34 ; 20)

bon après-midi