Bonjour j’ai un dm de maths pour demain, je n’arrive pas à le faire … Est ce que qlq pourrait m’aider en urgence svp

Bjr,

1.

[tex]\theta \in [0;\pi]\\\\Donc \ \sin(\theta) \geq 0\\\\Ansi \ \sin(\theta)=\sqrt{\sin^2(\theta)}=\sqrt{1-\cos^2(\theta)}[/tex]

Donc en posant

[tex]\cos(\theta)=x\\\\\cos(\theta)\sin(\theta)=x\sqrt{1-x^2}[/tex]

et pour

[tex]\theta \in [0;\pi][/tex]

[tex]x=\cos(\theta) \in [-1;1][/tex]

2.

a.

f est définie pour

[tex]1-x^2=(1-x)(1+x)\geq 0[/tex]

donc [tex]x\in[-1;1][/tex]

On peut faire un tableau de signe pour s'en convaincre.

b.

f est dérivable sur ]-1;1[ et

comme [tex]1-x^2\geq 0[/tex]

[tex]f'(x)=\sqrt{1-x^2}-\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\\\\=\dfrac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}[/tex]

en mettant sur le même dénominateur

b.

Comme

[tex]1-2x^2=(1-\sqrt{2}x)(1+\sqrt{2}x)[/tex]

[tex]\left|\begin{array}{c|ccccc}x&-1&-\dfrac1{\sqrt{2}}&&\dfrac1{\sqrt{2}}&1\\---&---&---&---&---&---\\f'(x)&-&0&+&0&-\\---&---&---&---&---&---\\f(x)&\searrow&-\dfrac1{2}&\nearrow&\dfrac1{2}&\searrow\end{array}\right|[/tex]

Car

[tex]f(\dfrac1{\sqrt{2}})\\\\=\dfrac1{\sqrt{2}}*\sqrt{1-\dfrac1{2}}\\\\=\dfrac1{2}\\\\f(-\dfrac1{\sqrt{2}})\\\\=-\dfrac1{\sqrt{2}}*\sqrt{1-\dfrac1{2}}\\\\=-\dfrac1{2}\\\\[/tex]

la courbe représentative est en pièce jointe

l'extremum sur [-1,1] est 1/2

donc l'extremum de

[tex]\cos(\theta)\sin(\theta)[/tex]

est 1/2 sur

[tex][0,\pi][/tex]

Merci