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Question

j'ai un exercice à faire et je ne le comprend pas du tout, je n'ai pas réussi à le faire :

Soit f une fonction dérivable sur R avec ce tableau où a et b sont deux réels :

x -oo a +oo
_______________________________________
f(x) -oo (croissante) b (décroissante) -oo

1. déterminer le signe de f'(x) selon x.
2. dans le plan (O,I,J) on a tracé deux courbe C1 et C2. Elles coupent l'axe des ordonnées aux points A et B d'ordonnées -2 et 1/2 respectivement. L'une de ces courbes est la corube représentative de la fonction f' de f. L'autre est celle d'une fonction F sur R, telle que F'=f.
a) indiquer laquelle de ces deux coubes est celle de f' et justifier.
b)avec C1 et C2 prouver que 10.
3. La fonction F a pour expression F(x)= 1/2x²+2x-2e^(x/2).
a) determiner expression de f et démontrer que f'(x)+ 1-1/2e^(x/2). (ça j'ai réussi)
b) justifier alors le tableau de variations de f en précisant les valeurs exactes de a et b et en justifiant les limites de f en -oo et +oo
j'ai un exercice à faire et je ne le comprend pas du tout, je n'ai pas réussi à le faire : Soit f une fonction dérivable sur R avec ce tableau où a et b sont de

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1 Réponse

  • 1.  x    -infini              a                +infini
      f '(x)              +        0        -

    On se sert du cours pour faire ce tableau : f ' positive alors f croît et vice versa

    2.a) La courbe représentative de f ' (x) est la courbe C2 car en partant de -infini sur l'axe des x jusqu'à une certaine valeur de x les ordonnées donc les valeurs de f '(x) sont positives et après f ' (x) est toujours <0 c'est le cas sur la courbe C2

    2.b)Dans le tableau de variations f(x) commence à décroître pour x supérieur à a et sur la courbe C2 , on voit que c'est le cas pour une valeur sur l'axe des abscisses comprise entre 1 et 2    donc 1<a<2

    C1 nous permet de dire que F est croissante au moment où on passe par la valeur x=a donc f(a) positif puisque f est la dérivée de F

    3.F' (x)=x+2-2(1/2).e^x/2
    =x+2-e^(x/2)=f (x)

    f(x)=x+2-e^(x/2)
    f ' (x)=1+0-(1/2).e^(x/2)
    =1-1/2.e^(x/2)

    Etudions le signe de f ' (x)
    f ' (x)=0  alors 1/2.e^(x/2)=1
    e^(x/2)=2
    ln e^(x/2)=ln2
    x/2=ln2
    x=2ln2
    x=1.38    car ln2=0.693
    donc    x        2ln2
     f ' (x)               +     0       -  

    Donc a=2ln2=1.38
    b=f(2ln2)=2ln2+2-e^(2ln2/2)
    =2ln2+2-e^(ln2)
    =2ln2+2-2
    =2ln2

    limite de f(x) quand x tend vers - infini
    =lim de x+2-e^x/2 quand x tend vers -infini
    e^x/2 tend vers 0 quand x tend vers - infini  comme e^x tend vers 0 quand x tend vers - infini , c'est le cours
    et x+2 tend vers - infini quand x tend vers - infini
    donc limite de f(x)=- infini quand x tend vers - infini

    Pour + infini , on utilise les croissances comparées : l'exponentielle prévaut toujours sur les fonctions polynômes donc -e^x/2 est dominant ^par rapport à x+2
    limite de e^x/2=+infini quand x tend vers + infini
    donc limite de -e^x/2 = -infini quand x tend vers + infini
    donc limite de f(x)=-infini quand x tend vers + infini

    J'espère ne pas avoir fait d'erreur , relis et corrige moi si il faut
    Bon courage:)


     

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