soit x>0 montrez que : [tex]1 \leq \sqrt{1+x} \leq 1+ \frac{x}{2} [/tex]

[tex]1 \leq 1+x\\ \sqrt{1} \leq \sqrt{1+x}\\ 1 \leq \sqrt{1+x}\\\\ 1+x \leq (1+ \frac{x}{2})^2\\ \sqrt{1+x} \leq \sqrt{(1+ \frac{x}{2})^2 }\\ \sqrt{1+x} \leq 1+ \frac{x}{2}\\\\ on \ a : \\\\ 1 \leq \sqrt{1+x} \leq 1+ \frac{x}{2} [/tex]

Bonjour,
Si x>0 (ou alors c'est une erreur)
alors
1)
0<x
=>1<1+x
=>1<√(1+x)

2)
0<x
=>0<x²
=>0<x²/4
=>1+x<x²/4+x+1
=>1+x<(x/2+1)²
=>√(1+x)<1+x/2

L'égalité ne pouvant être atteinte que si x=0.