Bonjour, pouvez-vous m'aider pour cet exercice s'il vous plaît. Merci à vous !!! Le plan est muni d'un repère orthonormé. 1. On considère le point A de coordonn
Question
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
1. On considère le point A de coordonnées (1; -2). Déterminer une équation du cercle de centre A et de rayon 3.
2. On considère les points B et C de coordonnées respectives (-1; 1) et (2; 3). Déterminer une équation du cercle de centre B passant par le point C.
3. On considère les points D et E de coordonnées respectives (-2; -1) et (3; 3). Déterminer une équation du cercle de diamètre [DE].
4. On considère le cercle C d'équation (x - 1)2 + (y + 4)2 = 65.
a. Quel est le diamètre du cercle C?
b. Le point F de coordonnées (5; 3) appartient-il au cercle C?
c. Déterminer les coordonnées des points d'intersections du cercle C avec les axes du repère.
5. Déterminer le rayon et les coordonnées du centre du cercle dont une équation est : - x2 + y2 - 2x + 4y - 11 = 0
2 Réponse
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1. Réponse Bernie76
Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
Il faut absolument savoir que l'équation d'un cercle de centre A(a;b) et de rayon "r" est donnée par :
(x-a)²+(y-b)²=r²
Ici , ça donne :
(x-1)²+(y+2)²=9
On développe et ramène tout à gauche. A la fin tu trouves :
x²+y²-2x+4y-4=0.
2)
Il nous faut la mesure de BC².
BC²=(2-(-1))²+(3-1)²=13
(x+1)²+(y-1)²=13
On développe et ramène tout à gauche. A la fin tu trouves :
x²+y²-2x-2y-11=0
3)
Soit M le milieu de [DE].
xM=(-2+3)/2=1/2
yM=(-1+3)/2=1
Donc :
M(1/2;1)
Rayon²= ME²=(3-1/2)²+(3-1)²=(5/2)²+2²=25/4+16/4=41/4
Equation du cercle de diamètre [DE] :
(x-1/2)²+(y-1)²=41/4
A la fin :
x²+y²-x-2y-9=0
4)
L'équation de ce cercle est donc :
(x-1)²+(y-(-4))²=(√65)²
a)
Son rayon est √65 donc son diamètre mesure : 2√65.
b)
Son centre est N(1;-4).
Calculons la mesure NF² avec F(5;3) :
NF²=(5-1)²+(3-(-4))²=16+49=65
Donc F est bien sur ce cercle C.
c)
On part de :
(x - 1)² + (y + 4)² = 65
x=0 donne :
(y+4)²=65
y+4=-√65 ou y+4=√65
y=-√65-4 ou y=√65-4
Intersections avec axe des y : (0;-√65-4) et (0;√65-4)
y=0 donne :
(x-1)²=65
x-1=-√65 ou x-1=√65
Intersections avec axe des x : (-√65+1;0) et (√65+1;0)
5)
-x²+y²-2x+4y-11=0
Tu n'as pas fait une faute de frappe ? Ce n'est pas plutôt :
x²+y²-2x+4y-11=0 ??
Si oui , ça donne :
x²-2x+y²+4y-11=0 , ce qui donne :
(x-1)²-1 +(y+2)²-4-11=0 soit :
(x-1)²+(y-(-2))²=16 ==>16=4²
Centre (1;-2) et rayon 4.
Voir les cercles sauf celui de la 5) dans la figure jointe.
2. Réponse Nepenthes
Réponse :
Hello !
Une méthode alternative pour la question 3 : le point M(x, y) appartient au cercle de diamètre [DE], si et seulement si le triangle DEM est rectangle en M. Autrement dit, vectoriellement, si les vecteurs DM et EM sont orthogonaux.
DM(x+2, y+1) et EM(x-3, y-3).
L'équation s'écrit :
(x+2)(x-3) + (y+1)(x-3) = 0
Ensuite tu peux développer, faire des formes canoniques, etc.
Explications étape par étape :
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